Ce qui suit est ma traduction de Researchers Solve One of the Most Notorious Open Problems in Math, article de Caroline Delbert paru sur Popular Mechanics en 2020.
- Des chercheurs ont utilisé un amalgame d'algèbre et de géométrie dans le but de résoudre un problème de longue date en marche aléatoire.
- Les notions liées à la marche aléatoire ont tout façonné, de la biologie aux jeux vidéo.
- L’équipe en question a identifié une idée centrale de géométrie unifiant certains types de marches aléatoires et en différenciant certains autres
Des mathématiciens de la California Institute of Technology ont résolu un problème de longue date en lien avec un processus mathématique appelé marche aléatoire.
L'équipe, qui a également collaboré avec un collègue de la Ben-Gurion University en Israël, s’est empressée de résoudre le problème un soir, suite à une réalisation subite. Omer Tamuz, l'auteur principal, étudie les sciences économiques et les mathématiques en faisant le lien entre les deux disciplines à l'aide des théories ergodique et des probabilités, une approche mixte d'avant-garde pour laquelle les derniers lauréats du prix Abel de mathématiques ont aidé à tracer le chemin.
Dans un communiqué émis par Caltech, Tamuz a relaté avoir un jour présenté une percée potentielle à ses étudiants, pour découvrir le jour suivant qu'ils l'avaient résolue.
« Je me souviens avoir mentionné aux étudiants une réalisation que nous avions eue au sujet de ce problème, pour découvrir le matin suivant qu'ils étaient restés debout tard dans la nuit et qu’ils étaient parvenus à une solution », a indiqué Tamuz. La percée, ainsi que le problème qu'elle a permis à l'équipe de chercheurs de démêler, est une fois de plus basée sur la découverte d'un lien entre des modes de pensée disparates.
La marche aléatoire est un terme familier désignant une manière de créer un chemin basée sur des décisions aléatoires au niveau des embranchements. Si vous avez joué à un jeu vidéo généré procéduralement, comme Minecraft et Stardew Valley, pour citer des exemples notables, ainsi que des jeux culte comme Spelunky et Dwarf Fortress, vous avez rencontré une marche aléatoire sous forme de cachot ou de terrain ainsi construit.
Beaucoup de disciplines emploient la théorie de la marche aléatoire, tant dans sa notion que dans ses principes. Les biologistes peuvent modéliser le déplacement et le comportement des animaux à l’aide des marches aléatoires. Les physiciens l'utilisent pour décrire et modéliser le comportement des particules. Pour les informaticiens, l'étude de comment appliquer des variantes de la marche aléatoire demeure un projet constant. Certaines marches aléatoires semblent se comporter selon le chemin déjà parcouru, un comportement que l’on appelle dépendant du chemin. D'autres semblent ignorer leur « passé » et finissent par converger avec d'autres chemins dont l’historique diffère.
C'est cette différence que Tamuz et ses collègues Joshua Frisch, Yair Hartman et Pooya Vahidi Ferdowsi ont exploré et c'est là qu'ils ont découvert une solution.
Comme l’affirme Tamuz dans le communiqué : « Supposons que vous avez deux sociétés et que l'une d'elles fait des progrès technologiques alors que l'autre subit une catastrophe naturelle. Ces différences persisteront-elles pour toujours ou finiront-elles par disparaître, de sorte que nous oublierons que l’une des sociétés a déjà possédé un avantage ? En marche aléatoire, on sait depuis longtemps que certains groupes possèdent cette mémoire, alors que dans d'autres groupes, la mémoire est effacée. Mais la question à savoir quels groupes possèdent cette propriété et lesquels ne la possèdent pas, c'est-à-dire ce qui fait en sorte qu'un groupe a une mémoire, n'était pas clairement établie. C'est ce que nous avons compris. »
En d'autres termes, pourquoi certaines marches aléatoires retournent-elles à leur moyenne et d'autres pas ? Lorsqu'on programme à l’aide de notions de marche aléatoire, on peut simplement coder une contrainte ou un paramètre pour s'assurer que les chemins convergent ou non. Dans la théorie pure, il est beaucoup plus difficile d'expliquer le problème.
Le secret découvert par cette équipe est la combinaison de notions d'algèbre et de géométrie pour décrire les marches aléatoires et l’utilisation de ce lien pour les étudier. Les chercheurs ont constaté que les marches aléatoires répondant à un certain critère fondé sur la géométrie vectorielle sont celles qui convergent avec toutes les autres.
« En fin de compte, nous avons été enchantés d'avoir pu résoudre une question de mathématiques de longue date », a déclaré Ferdowsi dans le communiqué.
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